Cuando
los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones,
nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al
siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de
representación más práctico.
En
diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución,
cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los
representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades
hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade
otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que
puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas
unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de
tercer orden y así sucesivamente.
Casi
todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros,
pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros
requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
El
sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los
árabes. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo
que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar
cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las
operaciones.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de
todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número.
Una de sus características es que se pueden poner los símbolos en cualquier
orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base
60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los
griegos, armenios, judios y árabes.
.El
Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los
egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los
geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.
Se usaban
tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de
las figuras según el caso.
Al
ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y
solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto animales,prisioneros,vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura
aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak.
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al
imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales,
en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas
más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.
En
estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia,
y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200,
300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios
para escribir una cifra.
.El
Sistema de Numeración Griego
El primer sistema de numeración
griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba
los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se
utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las
numeraciones aditivas.
Para
representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales.
Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra
cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este
sistema acrofónico.
Los
símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al
de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático
fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego
junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente
De
esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y
a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que
corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer
una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los
números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que
utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran
importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue
fines místicos y adivinatorios.
Sistemas de Numeracion Híbridos
En estos sistemas se combina el
principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas
aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la
combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de
signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un
símbolo para el 0. 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para
evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya
que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares,
pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo
las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es
necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no
se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio,
arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y
el cingalés.
.El
Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los
números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un
sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10.
Utiliza los ideogramas de la figura y
usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar
y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó
3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría
representar 57 que 75.
Tradicionalmente
se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha
como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero
siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían
los correspondientes a las potencias de 10.
Para
los documento importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de
evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más
estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos
domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos
chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual
que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se
diferencia de este.
Sistemas
de Numeración Posicionales
En ellos la posición de una cifra nos
dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base
correspondiente.
Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un
sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron
al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo
completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no
eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para
los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad
y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese
representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una
irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las
veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al
calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema
tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que
escribimos los nueve dígitos y el cero
.El
Sistema de Numeración Babilónico
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se
desarrollaron distintos sistemas de numeración. Se inventó un sistema de base
10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.
Para
la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de
cuña. Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su
propio signo.
De
este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta
llegar a 60.
A
partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos
iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así
sucesivamente.
El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de
base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto.
Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal,
a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el
10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro
rayas.
Hasta
aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados
cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cífras de un sistema de
base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20,
20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un
sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de
un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún
orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles
interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron
simplemente para indicar la ausencia de otro número.
Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la
observación astronómica y para expresar los números correspondientes a las
fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la
cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360
para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.
El año lo consideraban dividido en 18 quinal que constaba cada uno de 20 días.
Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara
justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico.
Además de
éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se
divide en 20 ciclos de 13 días.
Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para
el cálculo y aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron
notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
